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title: 方阵问题
description: 方阵问题-数学应用题-上岸学堂
keywords: 方阵问题,数学应用题,上岸学堂,行测，数量关系
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# 第三节 方阵问题

## 方阵的定义

方阵是指行数和列数相等的矩阵，形成一个正方形的排列。在行测数量关系题目中，方阵问题是一个常见且重要的考点。

## 一、等差数列思维（核心/万能思维）

等差数列思维是解决方阵问题的核心方法，也是在没有其他思路时的万能方法。

### （一）方阵层级的等差性质

1. 将方阵的每一层看作等差数列的一项
2. 每一层的边长之差为2
3. 每一层的周长之差为8（即公差）

### （二）方阵层级的重要公式

1. 每层每边人数关系：
   - 每向内一层，每边人数减少2
   - 每向内一层，每层总数减少8

2. 每层总数计算公式：
   $$每层总数 = (每边人数 - 1) \times 4 = 每边人数 \times 4 - 4$$

   > 解释：为什么要减4？因为四个角上的四人被相邻的两边重复计算了一次。

3. 每边人数计算公式：
   $$每边人数 = \frac{每层总数}{4} + 1$$

4. 实心方阵总人数：
   若每边人数为n，则 $$总人数 = 每边人数^2 = n^2$$

5. 空心方阵总数：
   $$总数 = (最外层边长 - 层数) \times 层数 \times 4$$
   或者：$$总数 = 实心方阵总数 - 空掉的内部总数$$

### （三）方阵的增减变化

6. 取消m行、n列的方阵，减少人数：
   $$减少人数 = 边长 \times (m + n) - mn$$

7. 增加m行、n列的方阵，增加人数：
   $$增加人数 = 边长 \times (m + n) + mn$$

## 二、两大辅助思维

### （一）重叠点思维

在计算方阵边缘点数时，需要注意重叠点的问题。如果有边与边的重叠情况，各边点相加时重叠点会被计算两次，因此需要减去重叠点个数才是实际的总数。

> 例：计算3×3方阵外围点的数量
> - 错误计算：3 + 3 + 3 + 3 = 12
> - 正确计算：3 + 3 + 3 + 3 - 4（四个角点） = 8

### （二）逆向法思维

当需要计算某种形状的外层数目时，可以使用整体数目减去内部数目的方法。

> 例：计算5×5方阵的外圈数量
> - 整体数量：5 × 5 = 25
> - 内部数量：3 × 3 = 9
> - 外圈数量：25 - 9 = 16

## 主要考点

1. 层与边的换算
2. 方阵本质上是等差数列
3. 方阵总数的计算
4. 减少/增加n行n列后的变化


## 例题

例1：
某校计算机学院学生组成的正方形实心方阵参加学校体育
节开幕式，能组成的最大方阵最外层人数为48人。问该学院的学生人数在以
下哪个范围内?  

- A.144 到155 之间            
- C.169 到195 之间            
- B.156 到168 之间           
- D.大于195

<BlurredAnswer>
解析：C。最外层人数48，边长48/4+1=13人，总人数132=169，最大方
针最外层48人，说明只能组成最大边13人，低于14人，所以总人数少于，
142=196 人
</BlurredAnswer>

例2：

有一队士兵排成若干层的中空方阵，外层人数共60人，中阅一
层共44 人．则该方阵士兵总数是?

- A.296                   
- C.324                   
- B.220          
- D.348

<BlurredAnswer>
解析：B。方法一，等差数列法，末项60，公差8，中位数44，则末项和
中位相差16，说明中间就隔了1个，即第二圈52，第三圈44，第四第五圈分
别为36、28，总人数相加为220. <br/>
方法二，数字特性法，中位数44，有11因子，总人数=中位数x项数，
所以总人数是11的倍数，只有B符合
</BlurredAnswer>
